Costuma-se confundir o acaso (ou sorte) com a intuição. Isso é normal, afinal, quando um resultado parece improvável, a primeira coisa que pensamos é que estamos diante de um acontecimento raro e, portanto, com um alto grau de "sorte". Vamos tomar a loteria como exemplo.
A ideia de que um resultado com chances de um em quatorze milhões ocorra duas vezes no intervalo de quatro dias pode parecer, no mínimo, improvável. No entanto, isso já aconteceu mais de uma vez e tem uma explicação lógica.
O caso da Bulgária
Em 2019, foi iniciada uma ampla investigação para entender como era possível que a loteria do país apresentasse os mesmos números vencedores (4, 15, 23, 24, 35 e 42) em duas semanas, sendo que os números haviam sido sorteados apenas quatro dias antes no mesmo concurso.
Diante da revolta popular, o governo começou a investigar se houve algum tipo de manipulação, mas nenhuma irregularidade foi encontrada. E esse não foi um caso isolado.
História se repetiu no Canadá
Essa história nos leva aos funcionários do Canadá e à mesma questão intrigante. Ocorreu quando eles decidiram devolver o dinheiro de prêmios não reclamados que haviam acumulado de seus milhões de participantes. O que fizeram? Compraram 500 carros e usaram um computador para gerar 500 números aleatórios.
A surpresa veio quando os funcionários divulgaram a lista e descobriram que havia um número repetido. Sim, o vencedor reivindicou os dois carros, e eles entregaram. Como poderia haver um número repetido? E novamente, esse não foi um caso isolado.
A loteria alemã
Em 21 de junho de 1995, na Alemanha, ocorreu um fato curioso: a série de números sorteada foi idêntica à que havia saído em 20 de dezembro de 1986. Foi a primeira vez, em 3.016 sorteios, que algo assim aconteceu. O que ou quem estaria "brincando" com o acaso dessa maneira?
A matemática consegue explicar
Para entender essa certeza matemática que vemos nos exemplos anteriores, podemos recorrer à formulação da seguinte questão: Quantas pessoas devem estar em um grupo para que haja uma probabilidade maior que 50% de que duas delas compartilhem o mesmo aniversário?
Intuitivamente, muitos imaginam que as chances são baixas, mas, ao fazer o cálculo, a probabilidade é de 50,7%. O número "mágico" é de apenas 23 pessoas. Esse resultado surpreende, pois mostra como, em um grupo relativamente pequeno, a chance de duas pessoas fazerem aniversário no mesmo dia é bem alta.
Isso nos ajuda a entender como eventos que parecem improváveis, como a repetição de números em sorteios de loteria, podem acontecer com mais frequência do que pensamos.
É isso mesmo que você leu!
O Paradoxo do Aniversário ilustra como nossas intuições sobre probabilidades muitas vezes falham. Quando pensamos em algo como compartilhar a data de aniversário, nossa tendência é subestimar as chances de coincidência porque nos concentramos no número de dias do ano, mas esquecemos o grande número de combinações possíveis entre as pessoas.
Em uma festa com 23 pessoas, não estamos apenas pensando em uma comparação entre dois aniversários; estamos lidando com 253 pares possíveis.
Cada uma dessas comparações tem uma pequena chance de coincidência, mas como há muitos pares, as chances totais de que duas pessoas compartilhem o mesmo aniversário chegam a cerca de 50%.
Esse mesmo princípio pode ser aplicado a outros eventos que parecem improváveis, como a repetição de números da loteria. Embora os números da loteria possam parecer únicos e ter uma baixa chance de repetição, o grande número de sorteios e as diversas combinações acabam criando mais oportunidades para que esses "fenômenos raros" aconteçam.
Como funciona o cálculo?
A ideia é calcular a probabilidade de que todas as datas de nascimento das pessoas sejam diferentes. Vamos ver como funciona: imagine que uma pessoa tem uma data específica de aniversário. A probabilidade de que uma segunda pessoa não compartilhe o mesmo aniversário é de 364/365 (porque há 364 datas restantes no ano).
Para que uma terceira pessoa também não compartilhe a data de aniversário com as duas anteriores, a probabilidade é de 363/365, e assim por diante, até chegar a 23 pessoas.
Se expandirmos esse cálculo para um grupo de 23 pessoas, multiplicamos todas essas probabilidades, resultando em uma chance de aproximadamente 0,49 de que ninguém compartilhe o mesmo aniversário. Isso significa que a probabilidade de que pelo menos duas pessoas tenham o mesmo aniversário é de 0,51, ou seja, um pouco mais da metade.
Colocando de outra forma, a fórmula matemática do Paradoxo do Aniversário é usado para calcular a probabilidade P(n) de que ao menos duas pessoas em um grupo de n pessoas compartilhem o mesmo aniversário.
Cada fração na fórmula representa a probabilidade de que uma nova pessoa não compartilhe o aniversário com as anteriores. Multiplicando todas as frações, você encontra a probabilidade de que ninguém compartilhe o aniversário. Depois, subtraindo esse valor de 1, encontramos a probabilidade de que pelo menos duas pessoas compartilhem o mesmo aniversário.
Explicando o caso búlgaro
Agora que entendemos o Paradoxo do Aniversário, podemos aplicá-la ao caso da loteria na Bulgária. Nesse sorteio, a seleção era feita de forma aleatória entre seis números de um grupo de 49, e os responsáveis pela loteria garantiram que não havia como manipular as máquinas. Eles afirmaram que os sorteios são realizados na presença de um comitê especial e transmitidos ao vivo na televisão nacional, assegurando que não há fraudes.
Isso faz com que qualquer combinação específica de seis números tenha uma chance de 1 em 13.983.816 de acontecer, o que é resultado de um cálculo combinatório expresso como "49 escolhe 6". A seleção dos números sorteados em 6 de setembro (4, 15, 23, 24, 35 e 42) parecia extremamente improvável de acontecer novamente.
Contudo, assim como ocorre no Paradoxo do Aniversário, essa não é a pergunta correta a se fazer. A questão não é quão improvável é que a mesma combinação exata ocorra duas vezes.
A pergunta certa seria: qual é a probabilidade de que alguma combinação de dois sorteios coincida em três sorteios? Ou qual é a probabilidade de que alguma combinação coincida em 50 sorteios? A probabilidade de coincidências aumenta conforme há mais sorteios, assim como no caso dos aniversários.
A solução
Como explicou o estatístico David Hand, professor emérito de matemática e pesquisador principal do Imperial College de Londres, “afinal, em três sorteios de loterias, há três maneiras possíveis de dois deles coincidirem. Em quatro sorteios, há seis pares possíveis; em cinco sorteios, há dez.
Quando chegamos a 50 sorteios, há 1.225 pares possíveis, e com 1.000 sorteios, há 499.500 maneiras possíveis de que dois conjuntos de números coincidam".
Isso aumenta muito as probabilidades, pois, quando foram realizados 4.404 sorteios, é mais provável que dois sorteios coincidam exatamente do que o contrário. Como aponta Hand, "se dois sorteios são realizados toda semana, somando 104 sorteios por ano, essa quantidade total será atingida em menos de 43 anos".
Dessa forma, não é tão surpreendente que isso tenha ocorrido uma vez há 15 anos ou, na verdade, que tenha acontecido em várias outras ocasiões. "Quando consideramos o número de loterias em todo o mundo, percebemos que seria surpreendente se os sorteios não se repetissem ocasionalmente", conclui o pesquisador.
Claro que o fato de isso ter acontecido em um intervalo de apenas quatro dias é um evento mais singular.
Imagen | Santeri Viinamäki, Ian Barbour, dominio público
Ver 0 Comentários